쪽집게 논술 (고등)

논제

1. 수정된 비례모형을 참고할 때, 인구가 증가하여 가 에 가까이 가면서 인구증가율의 변화는 어떻게 되겠는지 설명하시오.

2. 외부와 격리되어 있는 어떤 무인도의 현재 인구가 명이고 포화상태의 인구가 명, 일 때, 위의 수정된 비례모형을 적용할 경우, 이 무인도의 인구는 궁극적으로 어떻게 변할지 예측하시오.

[2008학년도 중앙대 모의 논술]

제시문

맬더스(T. Maltus)에 따르면 한 세대 후의 인구 는 현재 세대의 인구 에 비례한다고 하며 맬더스는 다음과 같은 모형을 제시하였다.
P*=kP (k는 출산율과 관계있는 양의 상수)
그러나 이러한 맬더스의 인구증가 모형은 단기간에는 잘 들어맞지만, 장기간에 걸쳐 적용할 경우 적합한 모형이 아니라는 비판에 따라 다음과 같이 수정된 비례모형이 주로 사용된다.
P*=kP(P - P)/P
여기서 P 는포화상태의 인구를 의미하며, 현재 세대의 인구 P*가 작을 때 위의 수정된 모형에 의한 P의 값은 맬더스의 기본 모형과 비슷한 값을 갖기 때문에 위 모형이 인구증가에 관한 보다 일반적인 모형이라 할 수 있다.

해설

학생들이 제시문에 주어진 두 가지 인구 성장의 수리적 모형의 차이점 등 특성을 이해하는 능력, 창의적 관점에서 문제를 전개해내는 사고력, 실제 상황에 적용하여 논리적으로 전개해나가는 논리적 추론능력 등을 다면적으로 측정하고자 한다.

예시 답안

<논제 1>
한 세대가 지났을 때 세대 당 인구가 증가하는 비율인 인구증가율은 (P*-P)/P 로 정의된다. 인구증가율은 맬더스의 인구증가 모형에서는 k-1이고, 수정된 비례모형에서는 k(P0-P)/P0-1이다. 수정된 비례모형에서 처음에는 P0-P가 대략 P0와 같게 되므로 k(P0-P)/P0의 값은 k와 별 차이가 없게 되지만, 나중에 P/P0의 값이 1과 비슷한 범위에 있으면 k(P0-P)/P0의 값은 0과 k사이에 있는 k와 매우 다른 수가 된다. 특히, k(P0-P)/P0의 값이 1이 되면, 즉 P/P0=1-1/k이면 인구는 변하지 않으며, 1보다 작으면, 즉 P/P0 가 1-1/k보다 크면, 인구는 감소하게 된다. 따라서 수정된 비례모형에서는 인구가 증가할수록 인구증가율은 둔화된다.

<논제 2>
처음에는 맬더스의 모형을 따르게 되므로 한 세대가 지나면 인구가 대략 두 배가 되는 증가율을 가질 것이다. 그러나 이러한 증가는 다섯 세대만 지나도 포화상태의 인구를 넘어서게 되므로 수정된 비례모형을 반영하여야 정확한 예측을 할 수 있다. 수정된 비례모형의 기울기 (P0-P)/P0효과를 반영하면 인구증가율은 점점 둔화되고, (P0-P)/P0의 값이 0.5가 되면 P* =P가 되어서 인구가 증가하지도 않고 감소하지도 않는 상태가 된다. 다시 말하면 인구는 500명으로 수렴한다고 예측할 수 있다. 실제로 이러한 상태에 도달하는지 알아보기 위해 세대가 지나면서 인구의 추이를 직접 계산해 보면 인구는 세대가 지남에 따라 100명, 180명, 295명, 416명, 486명, 500명, 500명, 500명 등의 순서로 변하게 되어서 6세대 이후에는 500명으로 수렴하는 것을 알 수 있다. (단, 인구는 정수이므로 각 세대에서 인구는 정수로 반올림하였다.) 이러한 추이는 PP*평면에 P* =P와 P* = 2P(P0-P)/P0의 그래프를 동시에 그려서 인구의 변화를 그래프 상에서 대략 추정해 봄으로써도 확인할 수 있다.