논제
과학 역사학자들의 견해에 의하면 케플러가 연구하던 시대에 만일 로그가 발견되지 않았었더라면 케플러의 운동법칙의 발견은 거의 불가능하였으리라 한다. 행성의 운동법칙을 발견하기까지에는 엄청나게 많은 곱셈과 나눗셈의 연산이 필요하기 때문이다. 로그표를 이용하여 어떻게 곱셈과 나눗셈을 할 것인지 원리 및 과정을 자세하게 설명을 하라. (분량 제한 없음)
[2008학년도 경북대 예시 문제]
[2008학년도 경북대 예시 문제]
제시문
(가)
근대 및 현대 과학의 발전은 많은 과학자들의 노력에 의하여 지속적으로 발전을 하여왔으며 과학의 발전은 19세기 이래 경제적으로 풍요로운 사회를 이루는데 중요한 기여를 하였다. 위대한 과학자들은 비범한 호기심과 열정을 가지고 엄청난 노력을 바쳐서 자연 현상을 관찰하고 그로부터 법칙들을 발견하였다. 그들의 위대한 업적은 스스로 노력 이외에 남들이 이룬 업적들을 지속적으로 공부하고 이해하며 최대한 이용하여 이루어졌다.
태양계에 있는 행성의 운동에 관한 법칙이 발견되기까지 큰 공헌을 한 사람들 중의 3명은 티고브라헤, 케플러 및 뉴턴인데, 이들은 과학자들을 분류하는 전형적인 세 가지 유형의 인물이다.
티코브라헤는 평생에 걸쳐 망원경을 비롯한 천체 관측 장비들을 이용하여 별들의 운동을 관측하였고, 행성의 운동에 대한 자료를 정리하였다.
케플러는 스승이었던 티고브라헤의 자료와 자신이 직접 관측하였던 측정 자료를 통하여 케플러의 행성 운동법칙을 발견하였는데, 그의 제1법칙은 모든 행성은 태양을 중심으로 하는 타원 궤도를 그린다는 것이다.
뉴턴이 발견한 운동 법칙 중 제2법칙은 물체의 운동 상태(속도의 크기 및 방향)의 변화는 그 물체에 가해지는 힘에 비례하고 질량에 반비례한다는 것이다. 이 법칙에 따르면 운동하는 물체에 어떤 힘도 가해지지 않으면 그 물체는 항상 일정한 속력으로 방향의 바뀜이 없이 운동한다. 뉴턴은 케플러의 행성 운동법칙이 성립하기 위한 자연의 운동법칙인 만유인력의 법칙을 발견하였는 바, 그 동기는 그의 운동 제2법칙과 케플러의 행성운동 1법칙으로부터 추론되었다고 한다.
(나)
갈릴레오는 수학이 급속히 발달하는 시기에 살았다. 데카르트의 좌표기하, 페르마의 원추곡선, 갈릴레오의 낙하운동에 관한 이론이 거의 같은 시기에 독립적으로 완성되었다. 불행하게도 갈릴레오는 데카르트나 페르마의 대수 또는 해석기하를 활용하지 않았는데, 이는 그 이론들이 워낙 새로운 것이어서 그가 몰랐을 것으로 추측된다.
그 대신 갈릴레오는 이천년 묵은 아폴로뉴스의 해석기하와 언어로 표현된 대수를 사용하였다. 그래서 그는 자신이 밝혀낸 바의 “낙하하는 물체의 속도는 시간에 비례한다.”라는 사실을 공식적으로 기술할 줄 몰랐고 대신에 “정지 상태에서 자유낙하 시킨 물체의 서로 다른 시간 구간에서의 속도의 비는 물체가 이동한 시간의 비와 같다.”라고 표현하였다.
갈릴레오는 자유낙하 하는 물체의 운동을 관찰하여 다음과 같은 사실을 발견하였다. 자유낙하 하는 물체가 어떤 일정한 시간동안 얼마간의 거리를 떨어졌다면, 그 다음 동일 시간 동안에는 첫 낙하 거리의 3배, 그 다음 동일 시간 동안에는 첫 낙하 거리의 5배, 그 다음 동일 시간 동안에는 첫 낙하 거리의 7배 떨어지고, 그 다음 동일 시간 동안에도 같은 방식으로 낙하 거리가 결정되어, 일반적으로 n번째 시간 구간 동안의 낙하거리는 첫 낙하거리의 2n―1배가 된다.
갈릴레오는 포탄의 운동을 두 개의 성분으로 구성된 것으로 생각하였는데, 하나는 발사에 의하여 생기는 대포가 겨냥한 방향으로 향하는 것이고, 다른 하나는 중력에 의하여 생기는 아래로 향하는 것이다. 이와 같은 생각의 바탕 위에서 그는 앞서 언급한 자유낙하 운동에 관한 그의 관찰을 이용하여 포탄이 날아간 궤적은 포물선임을 발견하였다.
해설
# 논제의 이해
수학은 인류의 삶에 지대한 공헌을 해 왔다. 그 중에 빼놓을 수 없는 것이 과학 연구의 기반으로서의 수학의 역할이다. 논제에서는 케플러의 운동법칙 발견에 있어 로그가 어떠한 공헌을 하였는지를 실질적으로 생각해 보게 하는 문제이다. 특히 큰 수의 곱셈이나 나눗셈에 로그표를 어떻게 이용할 수 있는지를 물었다.
답안 작성의 방향
아주 큰 수나 아주 작은 수의 곱셈, 나눗셈에는 로그가 유용하게 사용된다. 그런데 논제에서는 로그의 성질을 이용하여 답하는 데서 그치지 않고 로그표의 사용법까지 물었다. 이는 논술문제가 지향하는 바를 잘 나타내준 것으로서 문제 해결 방법을 생각하는 데서 그치는 것이 아니라 실제로 문제해결을 해 가는 과정까지를 묻고 있다는 점이다. 로그표를 간단히 그려가면서 계산 값의 결정과정을 설명해 주는 것이 필요하다.
예시답안
행성의 운동 법칙을 발견하기까지 엄청나게 많은 곱셈과 나눗셈의 연산이 필요한데 특히 멀리 떨어져 있는 물체의 운동에 관한 계산들이므로 그 값들이 매우 클 것으로 생각된다. 예를 들어 아주 큰 두 수인 A와 B를 곱하게 되면 그 값은 더욱 커져서 하나의 계산을 하다가 며칠씩 걸릴 수도 있다. 그런데 로그의 성질 log(A×B)=logA+logB, log(A÷B)=logA-logB 등을 이용하면 이와 같은 문제를 비교적 간단히 해결할 수 있다. 이는 아무리 큰 수 A라 할지라도 그의 로그값 logA는 n+α (n은 정수, α는 0≤α<1를 만족하는 실수)로 표시할 수 있기 때문이다. 매우 큰 수인 A와 B의 곱 P=A×B로부터 양변에 로그를 취하면 logP=logA+logB가 된다. 각각의 log값인 logA, logB는 아래의 [표1],[표2]를 이용해서 구할 수 있다. 예를 들어 A=2.637×1010이라고 한다면 logA=10+log2.637이 되는데 [표2]로부터 log2.63이 0.4200이라는 것을 알 수 있고 비례부분을 활용하면 0.0011을 더해서 log2.637=0.4211이라는 것을 알 수 있다. 이처럼 logB도 구해서 logA와 더해주면 logP를 구할 수 있게 된다. 이제 P를 구하면 원래의 곱셈을 마치게 되는데 이는 앞의 방법과 거꾸로 해서 구한다. 즉, logP=logA+logB=23.3729이었다고 한다면 [표1]로부터 P=2.36×1023이라는 것을 쉽게 알 수 있기 때문이다. 나눗셈도 이와 같은 방법으로 할 수 있기에 로그의 발견은 케플러의 행성 운동법칙의 발견에 지대한 공헌을 한 것으로 보인다.
자료제공: 박학천논술연구소 홈페이지: www.hak1000.com 전화: 080-939-9900
(가)
근대 및 현대 과학의 발전은 많은 과학자들의 노력에 의하여 지속적으로 발전을 하여왔으며 과학의 발전은 19세기 이래 경제적으로 풍요로운 사회를 이루는데 중요한 기여를 하였다. 위대한 과학자들은 비범한 호기심과 열정을 가지고 엄청난 노력을 바쳐서 자연 현상을 관찰하고 그로부터 법칙들을 발견하였다. 그들의 위대한 업적은 스스로 노력 이외에 남들이 이룬 업적들을 지속적으로 공부하고 이해하며 최대한 이용하여 이루어졌다.
태양계에 있는 행성의 운동에 관한 법칙이 발견되기까지 큰 공헌을 한 사람들 중의 3명은 티고브라헤, 케플러 및 뉴턴인데, 이들은 과학자들을 분류하는 전형적인 세 가지 유형의 인물이다.
티코브라헤는 평생에 걸쳐 망원경을 비롯한 천체 관측 장비들을 이용하여 별들의 운동을 관측하였고, 행성의 운동에 대한 자료를 정리하였다.
케플러는 스승이었던 티고브라헤의 자료와 자신이 직접 관측하였던 측정 자료를 통하여 케플러의 행성 운동법칙을 발견하였는데, 그의 제1법칙은 모든 행성은 태양을 중심으로 하는 타원 궤도를 그린다는 것이다.
뉴턴이 발견한 운동 법칙 중 제2법칙은 물체의 운동 상태(속도의 크기 및 방향)의 변화는 그 물체에 가해지는 힘에 비례하고 질량에 반비례한다는 것이다. 이 법칙에 따르면 운동하는 물체에 어떤 힘도 가해지지 않으면 그 물체는 항상 일정한 속력으로 방향의 바뀜이 없이 운동한다. 뉴턴은 케플러의 행성 운동법칙이 성립하기 위한 자연의 운동법칙인 만유인력의 법칙을 발견하였는 바, 그 동기는 그의 운동 제2법칙과 케플러의 행성운동 1법칙으로부터 추론되었다고 한다.
(나)
갈릴레오는 수학이 급속히 발달하는 시기에 살았다. 데카르트의 좌표기하, 페르마의 원추곡선, 갈릴레오의 낙하운동에 관한 이론이 거의 같은 시기에 독립적으로 완성되었다. 불행하게도 갈릴레오는 데카르트나 페르마의 대수 또는 해석기하를 활용하지 않았는데, 이는 그 이론들이 워낙 새로운 것이어서 그가 몰랐을 것으로 추측된다.
그 대신 갈릴레오는 이천년 묵은 아폴로뉴스의 해석기하와 언어로 표현된 대수를 사용하였다. 그래서 그는 자신이 밝혀낸 바의 “낙하하는 물체의 속도는 시간에 비례한다.”라는 사실을 공식적으로 기술할 줄 몰랐고 대신에 “정지 상태에서 자유낙하 시킨 물체의 서로 다른 시간 구간에서의 속도의 비는 물체가 이동한 시간의 비와 같다.”라고 표현하였다.
갈릴레오는 자유낙하 하는 물체의 운동을 관찰하여 다음과 같은 사실을 발견하였다. 자유낙하 하는 물체가 어떤 일정한 시간동안 얼마간의 거리를 떨어졌다면, 그 다음 동일 시간 동안에는 첫 낙하 거리의 3배, 그 다음 동일 시간 동안에는 첫 낙하 거리의 5배, 그 다음 동일 시간 동안에는 첫 낙하 거리의 7배 떨어지고, 그 다음 동일 시간 동안에도 같은 방식으로 낙하 거리가 결정되어, 일반적으로 n번째 시간 구간 동안의 낙하거리는 첫 낙하거리의 2n―1배가 된다.
갈릴레오는 포탄의 운동을 두 개의 성분으로 구성된 것으로 생각하였는데, 하나는 발사에 의하여 생기는 대포가 겨냥한 방향으로 향하는 것이고, 다른 하나는 중력에 의하여 생기는 아래로 향하는 것이다. 이와 같은 생각의 바탕 위에서 그는 앞서 언급한 자유낙하 운동에 관한 그의 관찰을 이용하여 포탄이 날아간 궤적은 포물선임을 발견하였다.
해설
# 논제의 이해
수학은 인류의 삶에 지대한 공헌을 해 왔다. 그 중에 빼놓을 수 없는 것이 과학 연구의 기반으로서의 수학의 역할이다. 논제에서는 케플러의 운동법칙 발견에 있어 로그가 어떠한 공헌을 하였는지를 실질적으로 생각해 보게 하는 문제이다. 특히 큰 수의 곱셈이나 나눗셈에 로그표를 어떻게 이용할 수 있는지를 물었다.
답안 작성의 방향
아주 큰 수나 아주 작은 수의 곱셈, 나눗셈에는 로그가 유용하게 사용된다. 그런데 논제에서는 로그의 성질을 이용하여 답하는 데서 그치지 않고 로그표의 사용법까지 물었다. 이는 논술문제가 지향하는 바를 잘 나타내준 것으로서 문제 해결 방법을 생각하는 데서 그치는 것이 아니라 실제로 문제해결을 해 가는 과정까지를 묻고 있다는 점이다. 로그표를 간단히 그려가면서 계산 값의 결정과정을 설명해 주는 것이 필요하다.
예시답안
행성의 운동 법칙을 발견하기까지 엄청나게 많은 곱셈과 나눗셈의 연산이 필요한데 특히 멀리 떨어져 있는 물체의 운동에 관한 계산들이므로 그 값들이 매우 클 것으로 생각된다. 예를 들어 아주 큰 두 수인 A와 B를 곱하게 되면 그 값은 더욱 커져서 하나의 계산을 하다가 며칠씩 걸릴 수도 있다. 그런데 로그의 성질 log(A×B)=logA+logB, log(A÷B)=logA-logB 등을 이용하면 이와 같은 문제를 비교적 간단히 해결할 수 있다. 이는 아무리 큰 수 A라 할지라도 그의 로그값 logA는 n+α (n은 정수, α는 0≤α<1를 만족하는 실수)로 표시할 수 있기 때문이다. 매우 큰 수인 A와 B의 곱 P=A×B로부터 양변에 로그를 취하면 logP=logA+logB가 된다. 각각의 log값인 logA, logB는 아래의 [표1],[표2]를 이용해서 구할 수 있다. 예를 들어 A=2.637×1010이라고 한다면 logA=10+log2.637이 되는데 [표2]로부터 log2.63이 0.4200이라는 것을 알 수 있고 비례부분을 활용하면 0.0011을 더해서 log2.637=0.4211이라는 것을 알 수 있다. 이처럼 logB도 구해서 logA와 더해주면 logP를 구할 수 있게 된다. 이제 P를 구하면 원래의 곱셈을 마치게 되는데 이는 앞의 방법과 거꾸로 해서 구한다. 즉, logP=logA+logB=23.3729이었다고 한다면 [표1]로부터 P=2.36×1023이라는 것을 쉽게 알 수 있기 때문이다. 나눗셈도 이와 같은 방법으로 할 수 있기에 로그의 발견은 케플러의 행성 운동법칙의 발견에 지대한 공헌을 한 것으로 보인다.
자료제공: 박학천논술연구소 홈페이지: www.hak1000.com 전화: 080-939-9900
